Еще задачка :-)

Sergei Nickolaev написал(а) к All в Jan 24 14:03:20 по местному времени:

Привет, All!

У детишек в пионерлагере накопилось некоторое количество фруктов. Они заметили, что количество яблок (Я), бананов (Б) и ананасов (А) находятся в забавном соотношении: Я/(А+Б) + А/(Я+Б) + Б(А+Я) = 4. Вопрос: сколько яблок, бананов и ананасов у них осталось?

Задачка прямо в этом виде решения не имеет, детишки явно обсчитались :-)
Но более абстрактная задача - найти решение уравнения x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = 4 в натуральных числах имеет решение (бесконечно много решений).
Самое маленькое известное решение - три числа, в десятичной записи которых 79, 80 и 81 цифра :-) Если меня не подводит память, количество элементарных частиц во всей нашей Вселенной очень сильно меньше любого из этих чисел ...
Для решения задачи нужна пара: математик и программист (можно в одном лице). Сначала решается задача: найти решение в целых числах (включая отрицательные), задачка для программиста, написать программу с правильным перебором. Потом задачка для математика: найти способ исходя из одного решения найти другое, большее. И, наконец, вторая задачка для программиста: программа, строящая последовательно все большие решения, пока все числа не будут положительными.

Если интересно, можно использовать задачку как повод поговорить об абстракциях существования и бесконечности в физике и в математике. Кстати, в математике таких абстракций больше одной :-)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 18:51:30 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Суббота 06 Января 2024 14:03, ты писал(а) All, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+65993afc:

SN> У детишек в пионерлагере накопилось некоторое количество фруктов. Они
SN> заметили, что количество яблок (Я), бананов (Б) и ананасов (А)
SN> находятся в забавном соотношении: Я/(А+Б) + А/(Я+Б) + Б(А+Я) = 4.
^^^^^^^
Тут опечатка?


С уважением - Alexander
--- -

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Jan 24 20:21:14 по местному времени:

Привет, Alexander!

Ответ на сообщение Alexander Нohryakov (2:6035/3.8) к Sergei Nickolaev, написанное 06 янв 24 в 18:51:

SN>> (А) находятся в забавном соотношении: Я/(А+Б) + А/(Я+Б) + Б(А+Я)
SN>> = 4.
AН> ^^^^^^^
AН> Тут опечатка?

Разумеется :-). Б/(А+Я)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 18:11:40 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Суббота 06 Января 2024 20:21, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+65998c5e:

SN>>> (А) находятся в забавном соотношении: Я/(А+Б) + А/(Я+Б) + Б(А+Я)
SN>>> = 4.
AН>> ^^^^^^^
AН>> Тут опечатка?

SN> Разумеется :-). Б/(А+Я)

Задачку я показал программисту, он не мог не уточнить, иначе он не был бы программистом.

- Тут в первых двух слагаемых деление, а в третьем умножение? Это не опечатка?
- Судя по тому, что с буквами без фруктов - деление, это опечатка.
- А в чем тогда разница между задачей с иксами и задачей с фруктами?
- Так много фруктов не бывает.
- Но это же математическая задача, там нет ограничений.


С уважением - Alexander
--- -

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Jan 24 12:31:06 по местному времени:

Привет, Alexander!

AН> - А в чем тогда разница между задачей с иксами и задачей с
AН> фруктами?
AН> - Так много фруктов не бывает.
AН> - Но это же математическая
AН> задача, там нет ограничений.

В формулировке с фруктами задача не математическая, а естественнонаучная :-)
По идее, далее должен был бы быть длинный рассказ о теории моделей в математике и ее (уже не столь строгом) распространении за пределы математики ...

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 19:23:04 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Понедельник 08 Января 2024 12:31, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+659bc24c:

SN> В формулировке с фруктами задача не математическая, а
SN> естественнонаучная :-) По идее, далее должен был бы быть длинный
SN> рассказ о теории моделей в математике и ее (уже не столь строгом)
SN> распространении за пределы математики ...

Согласен на короткий. Интересная тема.

В su.hardw,other недавно зашёл разговор о хадаче на закон Архимеда: из лодки выбросили камень. Как изменится уровень воды в озере, по которому эта лодка плавает, а на дно которого упал камень? Изменение будет настолько незначительным, что измерить его невозможно.


С уважением - Alexander
--- -

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Jan 24 15:10:18 по местному времени:

Привет, Alexander!


AН> В su.hardw,other недавно зашёл разговор о хадаче на закон Архимеда: из
AН> лодки выбросили камень. Как изменится уровень воды в озере, по
AН> которому эта лодка плавает, а на дно которого упал камень? Изменение
AН> будет настолько незначительным, что измерить его невозможно.

А если рассмотреть очень маленькое (по площади) озеро, чуть больше лодки, но очень глубокое (километров 100) и не особо маленький камень? Не удивлюсь, если измерить, таки, окажется возможно :-) Особенно, если метод измерения использовать примерно такой, как в установках для регистрации гравитационных волн :-)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Sergei Nickolaev написал(а) к Alexander Hohryakov в Jan 24 15:15:20 по местному времени:

Привет, Alexander!

SN>> В формулировке с фруктами задача не математическая, а
SN>> естественнонаучная :-) По идее, далее должен был бы быть длинный
SN>> рассказ о теории моделей в математике и ее (уже не столь строгом)
SN>> распространении за пределы математики ...

AН> Согласен на короткий. Интересная тема.

Короткий будет очень сильно "на пальцах" и не обязательно вполне корректный. Но корректный - не хочется: много формалистики, да и доступных символов здесь сильно маловато будет :-)
Идея такая: есть две математические теории, A и B, заданные аксиоматически. В теории B находятся объекты, соответствующие объектам теории A так, чтобы аксиомы теории А для них выполнялись. Такое соответствие - модель теории A в теории B.
Пример: теория A - теория рациональных чисел, теория B - планиметрия. (Приводить системы аксиом для них не буду). Соответствие устраиваем так: на плоскости выбираются точки с целочисленными координатами. Интересующие нас объекты - все прямые, проходящие через начало координат и какие-либо "целочисленные" точки (не совпадающие с началом координат). Нетрудно заметить, что любому рациональному числу можно поставить в соответствие ровно одну такую прямую. Именно: если m/n - несократимая дробь, равная рациональному числу r, то соответствующая прямая - проходящая через начало координат и точку (m,n). Всяческие свойства и взаимоотношения рациональных чисел без особого труда переформулируются в свойства и взаимоотношения таких прямых.
В результате любая доказанная теорема из теории рациональных чисел превращается в доказуемую теорему из планиметрии. Еще более интересно: если сформулировать доказуемое (в планиметрии) утверждение из планиметрии, которое в нашем соответствии естественно переформулируется в утверждение о рациональных числах, то это утверждение о рациональных числах можно считать истинным, несмотря на то, что оно доказано методами планиметрии, а вовсе не методами теории рациональных чисел.
Одно из первых революционных применений теории моделей в интересах математики появилось намного раньше самой теории моделей - работы Лобачевского. Если внимательно их проанализировать, то можно увидеть, что он построил модель для придуманной им "геометрии Лобачевского" в Евклидовой геометрии. Результат: если Евклидова геометрия непротиворечива, то и геометрия Лобачевского - непротиворечива, то есть, пятый постулат - действительно аксиома и его нельзя вывести из остальных аксиом Евклидовой геометрии.
Примеров использования моделей в математике - пруд пруди :-). Вовсе не обязательно соответствующие построения проводятся строго в соответствии с теорией моделей. Во-первых - слишком много формальностей, во-вторых, обычно всем ясно, что нужные построения сделать гарантированно можно, нафиг тогда тратить на это силы и время :-)

Что касается распространения этого подхода на взаимосвязи математических теорий и "других" (не обязательно из естествознания, кстати). Ситуация: некоторая область неплохо исследована наблюдениями и экспериментами. Есть некоторая система понятий для этой области. Для некоторой математической теории удается найти объекты, соответствующие объектам мат. теории так что для них выполняется то, что требуется аксиомами мат. теории. В этом случае доказанное в мат. теории должно выполняться и в соответствующей области реальности. Проблемы: все, намерянное в реальности, намеряно приближенно. Эксперименты и наблюдения охватывают не все потенциально возможные обстоятельства. Результат - соответствие не является столь аккуратным, как между математическими теориями. Модель для математики всегда приближенная и ограниченная.
Но, в результате, есть объяснение того КАК математика работает в других областях знания. Другая загадка - почему столь часто для математических теорий находятся модели, пусть и неточные и не всеохватывающие в этих других областях - на сейчас сильно вразумительных ответов еще не имеет :-)

С уважением - Sergei
--- GoldED+/W32-MINGW 1.1.5-b20120519 (Kubik 3.0)

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 19:12:36 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Воскресенье 14 Января 2024 15:15, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+65a3edaa:

SN> Пример: теория A - теория рациональных чисел, теория B - планиметрия.
SN> (Приводить системы аксиом для них не буду). Соответствие устраиваем
SN> так: на плоскости выбираются точки с целочисленными координатами.
SN> Интересующие нас объекты - все прямые, проходящие через начало
SN> координат и какие-либо "целочисленные" точки (не совпадающие с началом
SN> координат). Нетрудно заметить, что любому рациональному числу можно
SN> поставить в соответствие ровно одну такую прямую. Именно: если m/n -
SN> несократимая дробь, равная рациональному числу r, то соответствующая
SN> прямая - проходящая через начало координат и точку (m,n). Всяческие
SN> свойства и взаимоотношения рациональных чисел без особого труда
SN> переформулируются в свойства и взаимоотношения таких прямых.

Уже непонятно. Что такое сумма или произведение прямых? Чем отличаются прямые r и -r ?


С уважением - Alexander
--- -

Alexander Hohryakov написал(а) к Sergei Nickolaev в Jan 24 19:13:54 по местному времени:

Здpавствуй, Sergei!

Воскресенье 14 Января 2024 15:10, ты писал(а) мне, в сообщении по ссылке area://starper.limited?msgid=2:6035/3.17+65a3d056:

AН>> В su.hardw,other недавно зашёл разговор о хадаче на закон
AН>> Архимеда: из лодки выбросили камень. Как изменится уровень воды в
AН>> озере, по которому эта лодка плавает, а на дно которого упал
AН>> камень? Изменение будет настолько незначительным, что измерить
AН>> его невозможно.

SN> А если рассмотреть очень маленькое (по площади) озеро, чуть больше
SN> лодки, но очень глубокое (километров 100) и не особо маленький камень?

Камень застрянет между лодкой и берегом. Или это тонкий, но очень длинный (километров 99) камень.

SN> но очень глубокое (километров 100) и не особо маленький камень?
SN> Не удивлюсь, если измерить, таки, окажется возможно :-) Особенно, если
SN> метод измерения использовать примерно такой, как в установках для
SN> регистрации гравитационных волн :-)

Рядом с этой задачей обсуждали ещё одну: озеро или кастрюля, в ней плавает льдина, она тает, как меняется уровень воды?


С уважением - Alexander
--- -